Uvanlige hjul
Hjul med 18, 25, 26, 31, 40, 49, 62, 73 eller 105 lommer. Én regel priser nesten alle: andelen lommer som utbetalingene ser bort fra.
Når utbetalingene settes som om husets lommer ikke fantes, er husets fordelmatematikkHusets fordelAndelen av hver innsats som kasinoet i gjennomsnitt beholder: 2,70% i europeisk rulett.Les hele → antall huslommer delt på det totale antallet lommer, uansett hvor stort hjulet er. De fleste uvanlige hjul følger den regelen. De interessante bryter den: en avrundet utbetaling, en bonusrunde eller en innsats som blir liggende i flere spinn.
Én regel for hvert hjul
Europeisk rulettvariantEuropeisk rulettHjul med én null, 37 lommer, husets fordel 2,70%. Grunnmodellen på dette nettstedet.Les hele → betaler 35 til 1 som om hjulet hadde 36 lommerutstyrLommeEt av de 37 nummererte rommene på rotoren. Også: spor, kopp.Les hele →. Det har 37, og den manglende lommen er husets fordel på 2,70%. Den samme regelen virker på ethvert hjul: med N tall og Z huslommer har en innsats på n tall som betaler (N − n)/n til 1, en fordel for huset på Z/(N + Z). Hjul i alle størrelser er bygd eller foreslått etter denne regelen, og tabellen ordner dem etter pris.
Større kan være billigere
Spillere oppfatter et hjul med 62 lommer som et lengre skudd og antar at spillet er dårligere. Husets fordel avhenger bare av andelen huslommer. Super 62 har to nullerhjulNullDen ene grønne lommen som ingen 1:1-innsats, dusininnsats eller kolonneinnsats dekker; kilden til husets fordel. Også: enkeltnull, 0.Les hele →, som det amerikanske hjulet, men de er 2 av 62 lommer i stedet for 2 av 38, så det koster 3,23% mot 5,26%. Roulette 73, med 72 tall og én null, ville koste 1,37%, omtrent det samme som en 1:1-innsats i fransk rulett. På et lite hjul slår regelen andre veien. Bollman ser for seg et antikt hjul med 18 lommer, 1 til 16 pluss 0 og 00. Etter regelen ville hver innsats koste 2/18, 11,11%: to huslommer er en stor andel av et lite hjul.
Der regelen svikter: avrunding
En utbetalingpengerUtbetalingDet en vinnende innsats gir tilbake, oppgitt som «X til 1» i tillegg til den returnerte innsatsen.Les hele → må være et fornuftig beløp i sjetongerpengerSjetongEt merke som representerer et fast beløp, og som plasseres på spillefeltet for å gjøre en innsats. Også: cheque.Les hele →, og når regelen gir en brøk, runder kasinoet ned. Avenue-innsatsen i 100 To 1 Roulette dekker 15 lommer og burde betale 5⅔ til 1; den betaler 11 til 2, noe som hever husets fordel fra 4,76% til 7,14%. På Super 62 inneholder sju tall sifferet 6 (6, 16, 26, 36, 46, 56, 60), og innsatsen på det sifferet betaler 7 til 1, som gir 9,68%, tre ganger resten av spillefeltetutstyrSpillefeltDet trykte rutenettet for innsatser på bordet. Også: bord, filt, duk.Les hele →. Den hvite innsatsen i Riverboat Roulette dekker 8 tall til 7 til 2; ved et bord uten sjetonger på 50 cent får en vinnende innsats på $5 utbetalt $17 i stedet for $17,50, noe som hever husets fordel fra 5,26% til 7,37%. Den amerikanske femtallsinnsatsen, på 7,89%, er det kjente eksempelet på det samme.
Der regelen svikter: bonuser
Fast Action Roulette, lansert på Marina Bay Sands i 2020, bruker et ekte hjul med fire nuller, som alene ville koste 10%. Ti bonustall lyser opp tilfeldig på hvert spinn. Et enkelttallinnsatsEnkelttallEtt enkelt tall, betaler 35:1.Les hele → betaler 35 til 1, 40 til 1 hvis tallet er et bonustall, og 80 til 1 hvis hele raden på fire er bonus, noe som gir 6,65%. Spillets tre andre innsatser koster langt mer. IGTs Double Bonus Spin legger til en gul bonuslomme, halvannen lomme bred, på et amerikansk hjul; når kulenutstyrKuleDen lille kulen som sendes langs banen mot rotoren. Moderne kuler er av ivorine eller teflon, 18–21 mm.Les hele → lander der, får hver innsats to gratisspinn. Etter vår beregning senker det husets fordel til mellom 1,94% (et enkelttall) og 2,73% (1:1-innsats), under det vanlige amerikanske hjulet. Bollman (2021) oppgir 3% til 16% for dette spillet; den forenklede formelen hans har en algebrafeil, og for 1:1-innsatserinnsats1:1-innsatsRødt/svart, oddetall/partall, høy/lav. 18 tall, betaler 1:1.Les hele → innebærer den at gratisspinnene taper mer enn innsatsen, noe de ikke kan.
Der regelen svikter: innsatser som blir liggende
Riverboat Roulette (2012) ga 32 tall på et amerikansk hjul en ekstra farge. Hvitt markerer de fire lommene rundt hver null (1, 2, 9, 10, 13, 14, 27, 28). En innsats på en fargegruppe vinner hvis ett av tallene kommer før ett av de åtte hvite tallene. Et hvitt tall er en «White Out» som fjerner alle fargeinnsatser. Alle andre tall er uavgjort: innsatsen blir liggende, og mellom spinnene kan den tas ned eller økes. Blågrønn dekker tre tall og betaler 2 til 1. Per avgjort innsats taper den 2/11 av innsatsen, 18,18%. Per spinn taper den 2/38, de kjente 5,26%, fordi en innsats i gjennomsnitt blir liggende i 38/11, omtrent 3,5 spinn.
Et hjul Thorp kunne forutsi: Big Six
Big Six, eller lykkehjulet, er et stort, stående hjul med 54 felt: 24 betaler 1 til 1, 15 betaler 2 til 1, sju 5 til 1, fire 10 til 1, to 20 til 1, og to logofelt betaler 40 til 1. Det finnes ingen null; huset tar sin andel ved å betale for lite, og husets fordel går fra 11,1% på feltene som betaler 1 til 1, til 24,1% på logoene. I 1961 bygde Thorp et prediksjonsapparat på størrelse med en fyrstikkeske til det, styrt med en tåbryter, og i 1981, da han tok tiden på én omdreining av et kasinohjul med et armbåndsur, fant han ut at han som regel kunne angi stoppunktet med en feilmargin på fem felt. Å satse bare på de høyt betalende feltene nær prediksjonen ville gitt omtrent +211%, hvis innsatser ble tatt imot etter at hjulet var satt i gang. Det blir de ikke, og hjulet går sakte og fullt synlig, så en sen innsats ville vært åpenbar; Thorp skrev at spillet hadde for lite aktivitet til å skjule en.
Hvorfor så få slår an
Et profesjonelt hjul koster tusenvis av dollar, og et hjul med et uvanlig antall lommer må lages på bestilling. De fleste nye rulettspill beholder derfor standardhjulet og legger til innsatser, og det er derfor siden om sideinnsatser er lengre enn denne. Det amerikanske ørnehjulet med 31 lommer fra 1800-tallet, med 12,90% på et enkelt tall og 9,68% på alt annet, døde av sin egen pris. Ideen om en tredje huslomme kom tilbake i 2016 på et hjul med 39 lommer, der den koster 7,69%.
Spørsmål
Ikke i seg selv. Husets fordel er andelen huslommer: 1 av 73 er billigere enn 1 av 37.
Roulette 73, på 1,37%, men det er en publisert konstruksjon snarere enn et bord du sannsynligvis finner. Blant hjul som faktisk er tilbudt spillere, kommer Super 62 på 3,23% nærmest etter europeisk og fransk rulett.
En bonus må betales, vanligvis med en lavere grunnutbetaling eller med en egen innsats med høy fordel for huset.
Matte for moro skyld
Prøv selv først. Hver løsning er brettet sammen; åpne den når du er klar.
Royal Roulette, utviklet i Australia, har 50 lommerutstyrLommeEt av de 37 nummererte rommene på rotoren. Også: spor, kopp.Les hele →: de 48 kortene fra 2 til konge, pluss ett ess og én joker. Ett enkelt kort betaler 47 til 1, to kort 23 til 1, tre 15 til 1, fire 11 til 1, seks 7 til 1, åtte 5 til 1, tolv 3 til 1, seksten 2 til 1 og tjuefire 1 til 1. Hvilken regel gir disse utbetalingenepengerUtbetalingDet en vinnende innsats gir tilbake, oppgitt som «X til 1» i tillegg til den returnerte innsatsen.Les hele →, og hva koster hver innsats?
Vis løsningen
Svar Hver innsats på n kort betaler (48 − n)/n til 1, så hver innsats koster 2/50 = 4%.
Prøv regelen på noen innsatser: 47/1 = 47, 36/12 = 3, 32/16 = 2, 24/24 = 1. Den passer for alle ni. Regelen priser hjulet som om det hadde 48 lommer, så esset og jokeren er de to huslommene, akkurat som 0 og 00 på et amerikansk hjul.
To huslommer av 50 gir husets fordel på 4%. En «europeisk» versjon tar ut jokeren og beholder utbetalingene: én huslomme av 49, husets fordel 2,04%.
Super 62 har en innsats på at et valgt siffer finnes i vinnertallet. Lag den samme innsatsen for et vanlig amerikansk hjul. Hvor mange av tallene 1 til 36 inneholder hvert siffer, og hvilke utbetalinger ville holdt de vanlige 5,26%?
Vis løsningen
Svar Bare sifre med 3 eller 4 tall får rene utbetalinger (11 til 1 og 8 til 1). Sifrene 1, 2 og 3 kan ikke betales rettferdig i hele sjetongerpengerSjetongEt merke som representerer et fast beløp, og som plasseres på spillefeltet for å gjøre en innsats. Også: cheque.Les hele →.
Tell tallene. Sifferet 1 finnes i 1, 10 til 19, 21 og 31: 13 tall. Sifferet 2 finnes også i 13 tall og sifferet 3 i 10. Sifrene 4, 5 og 6 finnes i fire tall hver (4, 14, 24, 34), og 7, 8 og 9 i tre hver.
En innsats på n tall holder den amerikanske fordelen hvis den betaler (36 − n)/n til 1. Det gir 8 til 1 for fire tall og 11 til 1 for tre, begge hele tall. For 13 tall gir det 23/13, omtrent 1,77 til 1, og for 10 tall 2,6 til 1. Rund 1,77 ned til 7 til 4, og innsatsen koster 5,92%; rund den opp til 2 til 1, og spilleren får en fordel på 2,63%. Å runde 2,6 ned til 5 til 2 gir 7,89%.
Sifferet 0 er et valg: 10, 20 og 30 alene betaler 11 til 1 til 5,26%; legg til 0 og 00, og det blir en femtallsinnsats, 6 til 1 til 7,89%, som basketinnsatsBasketPå et hjul med én null: 0, 1, 2, 3 med én sjetong, betaler 8:1. Også: første fire, quatre premiers.Les hele →.
siffertallregelen girkunne betalehusets fordel1, 2131,77 til 17 til 45,92%3102,6 til 15 til 27,89%4, 5, 648 til 18 til 15,26%7, 8, 9311 til 111 til 15,26%100 To 1 Roulette betaler (100 − n)/n til 1 på de fleste innsatser, på et hjul med 100 tall og 5 hussymboler. Innsatsene dekker 1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 20 eller 50 lommer og betaler 100, 49, 32, 24, 19, 9, 11 til 2, 4 og 1 til 1. EnkelttalletinnsatsEnkelttallEtt enkelt tall, betaler 35:1.Les hele → og Avenue-innsatsen på 15 lommer bryter regelen. Hvilken annen innsats gjør det, og hva koster den?
Vis løsningen
Svar Innsatsen på tre lommer: regelen sier 32⅓ til 1, den betaler 32 til 1, og koster 5,71% i stedet for 4,76%.
Sjekk hver utbetaling mot regelen: 98/2 = 49, 96/4 = 24, 95/5 = 19, 90/10 = 9, 80/20 = 4 og 50/50 = 1 passer alle. For tre lommer gir regelen 97/3 = 32⅓, som ingen sjetong kan betale, så den rundes ned til 32.
Innsatsen vinner 3 ganger på 105 spinn og gir da tilbake 33 enheterpengerEnhetGrunninnsatsen et system eller en spiller regner i. Progresjoner beskrives i enheter, slik at de gjelder ved ethvert bord.Les hele → medregnet innsatsen: 3 × 33 = 99 enheter tilbake for hver 105 som satses, et tap på 6/105 = 5,71%.
Roulette 73, en publisert konstruksjon, har 72 tall og én nullhjulNullDen ene grønne lommen som ingen 1:1-innsats, dusininnsats eller kolonneinnsats dekker; kilden til husets fordel. Også: enkeltnull, 0.Les hele →, og hver innsats betaler (72 − n)/n til 1. De 24 grå tallene kan dekkes med 14 sjetonger: 4 enkelttall og 10 splitterinnsatsSplitTo tall som ligger inntil hverandre, betaler 17:1.Les hele →. Hva koster den innsatsen på 14 sjetonger?
Vis løsningen
Svar 1,37% av de 14 sjetongene, som hver annen innsats på det hjulet.
Den lange veien: et enkelttall betaler 71 til 1 og en split 35 til 1. Hvis ett av de 4 enkelttallene kommer, vinner du 71 og taper de andre 13 sjetongene: +58. Hvis ett av de 20 split-tallene kommer: +35 − 13 = +22. På de andre 49 lommene taper du alle 14. I gjennomsnitt over 73 spinn: 4 × 58 + 20 × 22 − 49 × 14 = 232 + 440 − 686 = −14 enheter, som er 1/73 av hver sjetong.
Den korte veien: forventningsverdiermatematikkForventningsverdiGjennomsnittsresultatet per innsats i det lange løp. −1/37 av innsatsen for hver vanlig europeisk innsats.Les hele → kan legges sammen. Hver sjetong er en vanlig innsats som taper 1/73 av seg selv, så 14 sjetonger taper 14/73. Å kombinere innsatser endrer hvordan resultatene fordeler seg, aldri hva de koster.
Super 62 har 60 tall, 0 og 00, og betaler (60 − n)/n til 1. Konstruktørene tegnet det også med én, tre og fire huslommer. Alphabetic Roulette betaler (24 − n)/n til 1 på 25 lommer, og har en variant med Y og Z i hver sin lomme. Pris alle fem.
Vis løsningen
Svar Med én til fire nuller: 1,64%, 3,23%, 4,76% og 6,25%. Alphabetic med Y og Z hver for seg: 7,69%.
Hver av disse beholder utbetalingene og endrer bare antallet huslommer, så husets fordel er huslommer ÷ alle lommer.
Én null, 61 lommer: 1/61 = 1,64%. To, 62 lommer: 2/62 = 3,23%. Tre, 63 lommer: 3/63 = 4,76%. Fire, 64 lommer: 4/64 = 6,25%. Hver ekstra null koster omtrent halvannet prosentpoeng.
Alphabetic betaler som om hjulet hadde 24 bokstaver. Med Y og Z i samme lomme har huset 1 av 25, 4%. Med Y og Z hver for seg har det 2 av 26, 7,69%, like mye som et hjul med trippelnull. Å dele én lomme i to nesten doblet prisen.
hjullommerlommer for husethusets fordel60 tall, én null6111,64%Super 626223,23%60 tall, tre nuller6334,76%Super 646446,25%Alfabetisk2514,00%Alfabetisk, Y og Z hver for seg2627,69%Et antikt hjul har 18 lommer: 1 til 16, 0 og 00. Oddetallene og 0 er rødeinnsatsRødt1:1-innsats på de 18 røde tallene. Fransk: rouge.Les hele →, partallene og 00 svarteinnsatsSvart1:1-innsats på de 18 svarte tallene. Fransk: noir.Les hele →, og de 16 tallene står på et spillefeltutstyrSpillefeltDet trykte rutenettet for innsatser på bordet. Også: bord, filt, duk.Les hele → på 4 ganger 4. Lag en utbetalingstabellpengerUtbetalingstabellListen over hva hver innsats eller hvert resultat betaler. På maskiner og sideinnsatser er det her husets fordel bestemmes.Les hele → som gir hver innsats den samme fordelen. Og hvorfor må 0 tape en innsats på rødt, selv om den er rød?
Vis løsningen
Svar Betal (16 − n)/n til 1: 15 til 1 på ett tall, 7 på to, 3 på fire, 1 på åtte. Hver innsats koster 11,11%. Hvis 0 vant innsatsen på rødt, ville rødt vært en rettferdig innsats.
Pris hjulet som om 0 og 00 ikke fantes. En innsats på n tall vinner n ganger av 18 og betaler (16 − n)/n til 1, så den gir tilbake 16 enheter, innsatsen medregnet, for hver 18 som satses. Hver innsats koster 2/18, 11,11%.
Spillefeltets naturlige innsatser går opp i hele tall: ett tall 15 til 1, to ved siden av hverandre 7 til 1, en rad eller en kolonneinnsatsKolonneTolv tall i én loddrett kolonne på spillefeltet, betaler 2:1.Les hele → på fire 3 til 1, og to rader, eller de åtte oddetallene, partallene, lave eller høye, 1 til 1. En innsats på tre tall ville trengt 4⅓ til 1; rundet ned til 4 til 1 koster den 16,67%.
Rødt dekker de åtte oddetallene. Hvis 0, som er rød, også vant innsatsen på rødt, ville rødt dekket 9 av de 18 lommene til 1 til 1: et rettferdig spillmatematikkRettferdig spillEt spill der ingen av sidene har en fordel: hver innsats har forventningsverdi null.Les hele → uten noen fordel i det hele tatt. Huslommene tjener inn fordelen bare ved å tape hver innsats unntatt en innsats på dem selv.
Komisk avbrekk
Tell husets lommer, og se så etter avrundingen.
Kilder
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Thorp, E. O. “The invention of the first wearable computer.”