Oppgave: Bursdagshjulet
Hvor mange spinn går det før et tall gjentas? Langt færre enn de fleste gjetter.
Bursdagsproblemet på et hjul med 37 lommerutstyrLommeEt av de 37 nummererte rommene på rotoren. Også: spor, kopp.Les hele →: etter bare 8 spinn er det mer sannsynlig enn ikke at et tall allerede har kommet to ganger. Spillere leser gjentakelser som mønstre; de er forventet oppførsel for et rettferdig hjul.
Oppgaven
Spinn et rettferdig europeisk hjul. Hvor mange spinn går det før sannsynlighetenmatematikkSannsynlighetSannsynligheten for et utfall, fra 0 til 1 eller fra 0% til 100%. Ett tall: 1/37 = 2,70%.Les hele → for at minst to spinn har vist samme tall, overstiger en halv? De fleste spillere gjetter på rundt 18 eller 19, halvparten av 37. Svaret er 8.
Løsningen
Regn ut sannsynligheten for ingen gjentakelse og trekk den fra én. Etter k spinn er p(alle ulike) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). For k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, så p(en eller annen gjentakelse) ≈ 0,56. For k = 14 er den 0,93; for k = 20 er den 0,996. Intuisjonen svikter fordi antallet par av spinn vokser som k², og hvilket som helst par kan samsvare.
Hvorfor det betyr noe ved bordet
En resultattavle med de siste 20 tallene vil nesten alltid vise minst én gjentakelse, ofte to eller tre. Spillere ser «17 kom to ganger på ti spinn» og konkluderer at 17 er varmt. Bursdagsregnestykket sier at en gjentakelse innen ti spinn skjer 74% av gangene, og at det gjentatte tallet er tilfeldig. Mønsteret er ekte, men betydningen er det ikke.
Oppfølgingsoppgaven
Hvor mange spinn går det før et bestemt tall, si 17, har kommet to ganger? Det er et annet spørsmål med et mye større svar: forventet ventetid er 74 spinn, og sannsynligheten for to 17-ere innen 20 spinn er omtrent 10%. Forskjellen mellom «et eller annet tall gjentas» (8 spinn) og «dette tallet gjentas» (74 spinn) er hele forskjellen mellom et mønster du legger merke til i ettertid og en prediksjon du gjør på forhånd.
Prøv selv
Kjør Demospillet i ti spinn og se på historikken. Vanligvis blir det en gjentakelse. Kjør det på nytt. Det gjentatte tallet blir et annet. Gjør dette ti ganger, så har du sett bursdagsproblemetmatematikkBursdagsproblemetHvor mange personer som skal til før to sannsynligvis har samme bursdag, eller hvor mange spinn før et tall sannsynligvis gjentar seg. På et hjul med 37 lommer er 8 spinn nok til at sannsynligheten blir større enn én av to.Les hele →. Gjør det tusen ganger (det kan simulatorene), så har du målt det.
Formel
Spørsmål
Nøyaktig, med 37 lommer i stedet for 365 dager. 23 personer gir 50% for bursdager; 8 spinn gir 56% for hjulet.
50% etter omtrent 19 spinn. Fortsatt rutine.
Nei. Tusenvis av spinn fra ett hjul ville gjort det; en gjentakelse gjør det aldri.
Matte for moro skyld
Prøv selv først. Hver løsning er brettet sammen; åpne den når du er klar.
En resultattavle ved et amerikansk hjul viser de siste 16 spinnene. Hvor sannsynlig er det at ingen tall står der to ganger?
Vis løsningen
Svar Omtrent 2,5%: omtrent 39 tavler av 40 viser minst én gjentakelse.
Gå spinn for spinn. Det første spinnet kan bli hva som helst. Det andre må bomme på det: 37 sjanser av 38. Det tredje må bomme på begge: 36 av 38. Det sekstende må bomme på femten tall: 23 av 38.
Gang sammen: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
En tavle uten gjentakelse er den sjeldne. En tavle med en gjentakelse sier ingenting om hjulet.
Hva er sannsynligheten for at 17 kommer nøyaktig fem ganger i ti spinn på et europeisk hjul? At et eller annet tall, hvilket som helst, kommer fem eller flere ganger? Og at et eller annet tall kommer minst tre ganger i fire spinn?
Vis løsningen
Svar 17 nøyaktig fem ganger: 1 av 315 576. Et eller annet tall fem eller flere ganger: omtrent 1 av 8 333. Et eller annet tall tre eller flere ganger i fire spinn: 1 av 349.
17 fem ganger: velg hvilke fem av de ti spinnene, 252 måter, hver med sannsynlighet (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Til sammen 1 av 315 576.
Et eller annet tall: hvert av de 37 tallene har en sannsynlighet på 1 av 308 325 for fem eller flere treff, som gir 37 av 308 325, eller 1 av 8 333. Det sjeldne tilfellet der to tall får fem treff hver, telles to ganger, men å trekke det fra endrer ingenting ved denne presisjonen.
Tre ganger i fire spinn: for ett tall 4 × 36 + 1 = 145 av de 37⁴ mulige utfallene; for hvilket som helst av de 37 tallene 145/37³ = 1 av 349.
Wizard of Odds besvarte disse spørsmålene for hjul med dobbeltnullhjulNullDen ene grønne lommen som ingen 1:1-innsats, dusininnsats eller kolonneinnsats dekker; kilden til husets fordel. Også: enkeltnull, 0.Les hele →; våre tall for det hjulet er 1 av 359 275, 1 av 9 243 og 1 av 368. Avstanden mellom «17» og «et eller annet tall» er bursdagsproblemetmatematikkBursdagsproblemetHvor mange personer som skal til før to sannsynligvis har samme bursdag, eller hvor mange spinn før et tall sannsynligvis gjentar seg. På et hjul med 37 lommer er 8 spinn nok til at sannsynligheten blir større enn én av to.Les hele → igjen: det finnes 37 måter å bli overrasket på.
Komisk avbrekk
Noe gjentas tidlig. Det noe er tilfeldig.
Kilder
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, roulette questions.