Oppgave: Hvor lenge til nullen
Null treffer ett spinn av 37 i gjennomsnitt. Hvor lenge venter du egentlig, og hva gjør det med en spiller på 1:1-innsats?
Ventetiden på null er geometrisk: gjennomsnitt 37 spinn, median 25, og én ventetid av tjue overstiger 110 spinn. Over en økt på 200 spinn forventer en spiller på 1:1-innsats 5,4 nuller og vil se alt fra 1 til 10.
Oppgaven
NullhjulNullDen ene grønne lommen som ingen 1:1-innsats, dusininnsats eller kolonneinnsats dekker; kilden til husets fordel. Også: enkeltnull, 0.Les hele → har sannsynlighetmatematikkSannsynlighetSannsynligheten for et utfall, fra 0 til 1 eller fra 0% til 100%. Ett tall: 1/37 = 2,70%.Les hele → 1/37 per spinn. (a) Hva er sannsynligheten for ingen null de neste 37 spinnene? (b) Hva er medianventetiden? (c) Over en økt på 200 spinn med 1:1-innsats, hvor mange nuller bør en spiller forvente, og hva er spennet?
Løsninger
(a) (36/37)³⁷ = 36,3%. Mer enn en tredel av gangene går 37 spinn uten en eneste null, som er den samme aritmetikken som at «minst ett treff på et enkelttallinnsatsEnkelttallEtt enkelt tall, betaler 35:1.Les hele → på 37 spinn» bare er 63,7%. (b) Ventetiden W er geometrisk; p(W > k) = (36/37)ᵏ; medianen er k der dette krysser 0,5, som er k ≈ 25. Halvparten av ventetidene er 25 spinn eller kortere og halvparten lengre; gjennomsnittet på 37 trekkes opp av den lange halen. (c) Nuller på 200 spinn er binomialfordelt med gjennomsnitt 200/37 = 5,4 og standardavvikmatematikkStandardavvikKvadratroten av variansen; den typiske avstanden mellom et resultat og forventningsverdien.Les hele → √(200 × (1/37) × (36/37)) ≈ 2,3. Et 95%-spenn er omtrent 1 til 10.
Hva null koster en spiller på 1:1-innsats
Hver null koster én innsats, og nullene er hele fordelen på rødtinnsatsRødt1:1-innsats på de 18 røde tallene. Fransk: rouge.Les hele →: over 37 gjennomsnittlige spinn utligner de 18 gevinstene og 18 tapene hverandre, og den ene nullen er −1/37. I en økt på 200 spinn med $10 koster de forventede 5,4 nullene $54, som er nøyaktig 200 × $10 / 37. En økt med 2 nuller har hatt $34 flaks; en økt med 9 nuller har hatt $36 uflaks, og vil føles rigget. På et bord med la partageregelLa partageFransk regel: Når nullen treffer, får du tilbake halvparten av en 1:1-innsats. Halverer husets fordel på disse innsatsene til 1,35%.Les hele → koster hver null en halv innsats, og tallene halveres.
Oppfølgingen
Hva er sannsynligheten for to nuller på rad? (1/37)² = 1/1 369. I et kasino med 20 bord og 50 spinn i timen er det omtrent én dobbeltnullvariantDobbeltnullLommen 00 på det amerikanske hjulet. Den hever husets fordel fra 2,70% til 5,26%.Les hele → et sted hver 1,4 time. Spillere som ser det, konkluderer med at hjulet er ødelagt; aritmetikken sier at det er tirsdag.
Prøv selv
Øktsimulatoren teller nuller per økt. Kjør 100 spinn noen hundre ganger og plott antallet: histogrammet ovenfor dukker opp, med sin lange høyre hale. Det er i halen historiene kommer fra.
Formel
Spørsmål
Ikke på et rettferdig. På et skjevt hjullaboratorietSkjevt hjulEt hjul der fysiske feil gjør noen lommer mer sannsynlige enn 1/37. Sjeldent, og kan bare påvises med tusenvis av registrerte spinn.Les hele → kan hvilken som helst lommeutstyrLommeEt av de 37 nummererte rommene på rotoren. Også: spor, kopp.Les hele → være det, og det ville ta tusenvis av spinn å se det.
Det er en innsats på 2,70% som alle andre. Den endrer formen på økten (en null blir en gevinst) og ikke kostnaden.
Fordi fordelingen av ventetider er skjev: mange korte ventetider, noen få svært lange.
Komisk avbrekk
Gjennomsnitt 37, median 25, og en lang hale der legendene bor.
Kilder
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.