Konvergens i det lange løp
Hvordan gjennomsnittet nærmer seg −2,70%, og hvorfor det tar lengre tid enn intuisjonen tilsier.
Gjennomsnittlig tap per spinn konvergerer mot −1/37 etter hvert som spinnene hoper seg opp, med en spredning som krymper som 1/√N. Etter 1 000 spinn på rødt ligger gjennomsnittet typisk innenfor ±3% av forventningen.
Store talls lov
Det løpende gjennomsnittet av uavhengige innsatser går mot forventningsverdienmatematikkForventningsverdiGjennomsnittsresultatet per innsats i det lange løp. −1/37 av innsatsen for hver vanlig europeisk innsats.Les hele →. Etter N spinn med 1:1-innsats på én enhetpengerEnhetGrunninnsatsen et system eller en spiller regner i. Progresjoner beskrives i enheter, slik at de gjelder ved ethvert bord.Les hele → har gjennomsnittsresultatet per spinn forventning −1/37 og standardavvikmatematikkStandardavvikKvadratroten av variansen; den typiske avstanden mellom et resultat og forventningsverdien.Les hele → 1/√N. Ved N = 100 er den spredningen 10% av innsatsen, nesten fire ganger signalet på 2,7%. Ved N = 1 000 er den 3,2%, omtrent som signalet. Ved N = 10 000 er den 1%, og fordelen er tydelig synlig. Fordelen er usynlig i en økt og umiskjennelig i løpet av et år.
Hva som konvergerer og hva som ikke gjør det
Gjennomsnittet per spinn konvergerer. Summen gjør det ikke: den driver lenger fra null når N vokser, med omtrent 2,7% av N i forventning, med en spredning på √N rundt det. En spiller som har spilt 10 000 spinn med $10, forventes å være nede $2 700, pluss minus $1 000. Den løpende andelen rødeinnsatsRødt1:1-innsats på de 18 røde tallene. Fransk: rouge.Les hele → har for lengst stilt seg inn nær 48,65%; den løpende saldoen har ikke stilt seg inn noe sted.
- p10 −$440
- p25 −$280
- median −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Hvorfor intuisjonen svikter
Folk forventer at fordelen skal vise seg raskt fordi 2,70% høres mye ut, og forventer at lange serier skal «jevne seg ut» fordi store talls lovmatematikkStore talls lovGjennomsnittet av uavhengige resultater konvergerer mot forventningsverdien når antallet forsøk vokser.Les hele → sier at gjennomsnitt konvergerer. Begge intuisjonene bommer på skalaen: fordelen er liten i forhold til variansenmatematikkVariansEt mål på hvor bredt resultatene sprer seg rundt forventningsverdien. Høy for enkelttall, lav for 1:1-innsatser.Les hele → i ett enkelt spinn (σ = 1 enhet mot EV = 0,027), så det tar (1/0,027)² ≈ 1 400 spinn før den blir synlig på ett sigma. Og konvergensen av gjennomsnittet drar ikke summen tilbake; den fortynner bare tidligere svingninger.
Konvergens for andre innsatser
For enkelttallinnsatsEnkelttallEtt enkelt tall, betaler 35:1.Les hele → er σ = 5,84, så den samme beregningen gir (5,84/0,027)² ≈ 47 000 spinn før fordelen når ett sigma. En spiller på enkelttall kan spille i årevis uten at fordelen kan skilles fra flaks i egne notater, mens spilleren betaler nøyaktig de samme 2,70% som spilleren på rødt, som ser den i løpet av uker.
Konsekvens for testing av systemer
Alle som hevder at et system virker, bør kunne vise det over 10 000 spinn eller flere med et dokumentert positivt gjennomsnitt. Ved 1 000 spinn er et positivt gjennomsnitt på 1:1-innsats en hendelse på én av fem under nullhypotesen; ved 100 spinn er det nesten et myntkast. Simulatorene på dette nettstedet kjører 2 000 økter av den lengden du velger på et sekund, som er mer belegg enn noe vitnesbyrd.
Formel
Spørsmål
SannsynlighetenmatematikkSannsynlighetSannsynligheten for et utfall, fra 0 til 1 eller fra 0% til 100%. Ett tall: 1/37 = 2,70%.Les hele → for noen gang å være i pluss igjen går mot null jo mer du spiller. Summen driver nedover uten grense.
Nei. Det betyr at tidligere svingninger blir en mindre andel av et større utvalg.
For 1:1-innsats omtrent 10 000 før fordelen er tydelig synlig. For enkelttall omtrent 50 000.
Matte for moro skyld
Prøv selv først. Hver løsning er brettet sammen; åpne den når du er klar.
To venner spiller 20 runder av et rettferdig spillmatematikkRettferdig spillEt spill der ingen av sidene har en fordel: hver innsats har forventningsverdi null.Les hele →, myntkast eller rødtinnsatsRødt1:1-innsats på de 18 røde tallene. Fransk: rouge.Les hele → mot svartinnsatsSvart1:1-innsats på de 18 svarte tallene. Fransk: noir.Les hele → med innsatsen tilbake ved nullhjulNullDen ene grønne lommen som ingen 1:1-innsats, dusininnsats eller kolonneinnsats dekker; kilden til husets fordel. Også: enkeltnull, 0.Les hele →, og fører en løpende stilling. Tell rundene der hver av dem ligger foran (uavgjort teller for den som ledet like før). Hva er mest sannsynlig: at ledelsen deles 10 runder mot 10, eller at én venn leder alle 20?
Vis løsningen
Svar At én venn leder alle 20 rundene, er langt mer sannsynlig: 35,2%, når begge vennene telles, mot 6,1% for en jevn fordeling 10 mot 10.
Sannsynligheten for at en rettferdig løpende stilling er lik etter 2k runder, er u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 etter 10 runder og 0,176 etter 20. Et klassisk resultat, arcsinusloven, sier at sannsynligheten for at én bestemt venn leder i nøyaktig 2k av 2n runder, er u(2k) × u(2n − 2k).
Lede alle 20: u(20) × u(0) = 0,176 for hver venn, 35,2% for én av dem. En jevn deling: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, den minst sannsynlige fordelingen av alle.
I et rettferdig spill skifter ledelsen altså sjelden hender. En spiller som har ligget foran hele kvelden, eller bak hele kvelden, har ikke sett noe uvanlig, og det sier ingenting om hjulet eller om ferdigheter. Epstein (2013) gir den samme loven for lengre spill: halvparten av gangene leder den heldigste siden i mer enn 85% av spillet.
Komisk avbrekk
Gjennomsnittet konvergerer. Summen bare forsvinner.
Kilder
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.