Ruinrisiko
Sannsynligheten for å tape hele spillekassen før du når et mål.
For 1:1-innsatser følger ruinrisikoen formelen for spillerens ruin. Med en spillekasse på $500, innsatser på $10 og et mål på $600 når du målet omtrent 57% av gangene og går tom resten.
Spørsmålet
Du har a enheterpengerEnhetGrunninnsatsen et system eller en spiller regner i. Progresjoner beskrives i enheter, slik at de gjelder ved ethvert bord.Les hele → av spillekassenpengerSpillekasseDet samlede beløpet som er satt av til spill. Styring av spillekassen er å bestemme hvor mye av den du risikerer per innsats og per økt.Les hele → og vil nå a + b enheter, ved å satse én enhet om gangen på en 1:1-innsatsinnsats1:1-innsatsRødt/svart, oddetall/partall, høy/lav. 18 tall, betaler 1:1.Les hele → med sannsynlighetmatematikkSannsynlighetSannsynligheten for et utfall, fra 0 til 1 eller fra 0% til 100%. Ett tall: 1/37 = 2,70%.Les hele → for gevinst p = 18/37 og for tap q = 19/37. Hva er sannsynligheten for at du når målet før du når null? Svaret ble utarbeidet av Pascal, Fermat og Huygens på 1650-tallet og er et av de eldste resultatene i sannsynlighetsregningen.
Formelen for spillerens ruin
P(når målet) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). RuinrisikomatematikkRuinrisikoSannsynligheten for å tape hele spillekassen før du når et mål eller et antall spinn.Les hele → er én minus det. Med q/p = 19/18 ≈ 1,0556 vokser forholdet eksponentielt med antall enheter, så formelen straffer små enheter hardt: jo flere innsatser det tar å nå målet, desto flere ganger betales bompengene på 2,70% underveis.
Slik leser du den
Mindre enheter skader. Å prøve å doble $500 med innsatser på $10 lykkes 6% av gangene; med én enkelt innsats på $500 lykkes det 48,6% av gangene. Dristig spill, færre og større innsatser, maksimerer sannsynligheten for å nå et mål i et spill med negativ forventning, fordi det minimerer antall ganger fordelen anvendes. Det maksimerer også variansenmatematikkVariansEt mål på hvor bredt resultatene sprer seg rundt forventningsverdien. Høy for enkelttall, lav for 1:1-innsatser.Les hele → i det som skjer med deg, og det avslutter kvelden raskt. Teoremet kalles «dristig spill er optimalt», og det ble bevist av Dubins og Savage i 1965.
Der problemet startet
Spørsmålet er eldre enn rulett. I 1656 ga Pascal Fermat en oppgave: to spillere kaster tre terninger, og hver starter med 12 brikker; et kast på 11 flytter en brikke den ene veien, et kast på 14 den andre. Begge løste den, og Huygens, som hørte om den gjennom et brev fra matematikeren Pierre de Carcavi, trykte den i 1657 som det femte problemet i den første boken om sannsynlighet, med svaret og uten bevis. Elleve kan kastes på 27 måter og fjorten bare på 15, så hver brikke går den første spillerens vei 9 ganger av 14, og formelen ovenfor, med 12 brikker hver, gjør ham omtrent 1 157 ganger mer sannsynlig å vinne alt enn å tape alt. En fordel på 2,70% er langt mindre, men den samme formelen viser hva den gjør over mange innsatser.
En virkelig dristig innsats
I april 2004 solgte Ashley Revell, en ung engelskmann, nesten alt han eide, også klærne, og tok med seg $135 300 til Plaza i Las Vegas. Etter noen små innsatser satte han hele beløpet på rødtinnsatsRødt1:1-innsats på de 18 røde tallene. Fransk: rouge.Les hele →, én gang. KulenutstyrKuleDen lille kulen som sendes langs banen mot rotoren. Moderne kuler er av ivorine eller teflon, 18–21 mm.Les hele → landet på rød 7, og han gikk derfra med $270 600. På et hjul med dobbeltnullhjulNullDen ene grønne lommen som ingen 1:1-innsats, dusininnsats eller kolonneinnsats dekker; kilden til husets fordel. Også: enkeltnull, 0.Les hele → hadde det ene spinnet en sannsynlighet på 47,37% og kostet ham $7 121 i gjennomsnitt, fordelen på 5,26% på én innsats. Fordelt på innsatser på $10 ville det samme målet vært nesten håpløst. Dristig spill gjør ikke innsatsen god; det gjør den så kort som mulig.
Ruinrisiko uten mål
Hvis du bare spiller til du går tom eller stopper etter N spinn, blir spørsmålet «hva er sannsynligheten for at spillekassen min berører null innen N spinn?». Det finnes ingen lukket formel for generell N, men simulatorene på dette nettstedet regner det ut: en spillekasse på $500 med $10 på rødt går nesten aldri tom på 100 spinn (under 1%), går tom omtrent 9% av gangene på 500 spinn og omtrent 95% av gangene på 5 000. Uten stoppregel går sannsynligheten mot 100%, som er husets fordelmatematikkHusets fordelAndelen av hver innsats som kasinoet i gjennomsnitt beholder: 2,70% i europeisk rulett.Les hele → i det lange løp.
- p10 −$500
- p25 −$500
- median −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Hvor lenge, og hvor langt i pluss
To andre klassiske resultater svarer på spørsmål spillere faktisk stiller. Uten mål varer faste 1:1-innsatser i gjennomsnitt 37 spinn per enhet i spillekassen på et europeisk hjul og 19 på et amerikansk, fordi hvert spinn i gjennomsnitt tar 1/37 av en enhet (1/19 på et amerikansk hjul): 100 enheter varer i gjennomsnitt 3 700 spinn, selv om halvparten av slike økter er over innen 3 134 (se Øktlengde og kostnad). Og uansett hvor stor spillekassen er, er sannsynligheten på et europeisk hjul for noen gang å være k enheter i pluss (18/19)ᵏ. Det er 95% for én enhet og 58% for ti, men ingen spillekasse, hvor dyp den enn er, gir en sannsynlighet på minst en halv for noen gang å komme 13 enheter i pluss; på et amerikansk hjul er sannsynligheten (9/10)ᵏ og faller under en halv ved 7 enheter.
En spillekasse for femti prosents sjanse
Snu spørsmålet: hvor mye må du ha med deg for å ha minst femti prosent sannsynlighet for å vinne et gitt beløp før du taper alt? For en liten gevinst trengs ikke mye. For en større stiger spillekassen du trenger, bratt, og forbi et visst punkt er ingen spillekasse stor nok, fordi selv en uendelig spillekasse gir under femti prosent sannsynlighet for noen gang å komme så langt i pluss. Taylor (2021) sier det på en annen måte: på et amerikansk hjul må du starte med 94 for å ha femti prosent sannsynlighet for å nå 100 enheter, altså risikere 94 for å vinne 6. På et europeisk hjul trenger du 88.
Den praktiske lærdommen
Bestem deg for hva du prøver å gjøre. Hvis målet er en bestemt gevinst, sats stort og sjelden. Hvis målet er en lang kveld, sats smått og godta at fordelen tar sine 2,70% av en stor omsetningpengerOmsetningDet samlede beløpet som er satset over en økt eller en periode, medregnet gevinster som satses på nytt. Også: handle, action.Les hele →. Hvis målet er begge deler, må noe gi seg, og det er vanligvis målet.
Formel
Spørsmål
MartingalestrategiMartingaleProgresjon som dobler innsatsen etter hvert tap. Se seksjonen Strategi for hva den gjør og ikke gjør.Les hele → senker den for korte økter og øker den dramatisk for lange. Fast innsatsstrategiFast innsatsÅ satse samme beløp hvert spinn. Grunnlinjen som hver progresjon sammenlignes med.Les hele → med en større enhet er den ærlige måten å senke den på.
Formelen ovenfor gjelder 1:1-innsatser. For innsatser med høy varians er ruin mer sannsynlig ved små innsatser, og målet nås mer ujevnt; bruk kalkulatoren.
Hvert skritt mot målet er litt mindre sannsynlig enn hvert skritt mot ruin; forholdet virker sammensatt over antall skritt.
Matte for moro skyld
Prøv selv først. Hver løsning er brettet sammen; åpne den når du er klar.
Du har $100 og vil ha $1 000, og satser bare på rødtinnsatsRødt1:1-innsats på de 18 røde tallene. Fransk: rouge.Les hele →. Plan én: sats $1 om gangen. Plan to: sats alt du har til du passerer $500, og deretter akkurat nok til å nå $1 000. Hvilken plan er best, og med hvor mye?
Vis løsningen
Svar Plan to, med god margin. Den når $1 000 omtrent 9,0% av gangene, nær de rettferdige 10%. Plan én lykkes omtrent 7 ganger av 10²².
I et rettferdig spillmatematikkRettferdig spillEt spill der ingen av sidene har en fordel: hver innsats har forventningsverdi null.Les hele → ville du nådd $1 000 fra $100 én gang av ti uansett hva du gjorde, fordi gjennomsnittsverdien av pengene dine holder seg på $100.
Husets fordel tar 2,70% av hver innsats, så jo mindre du satser totalt, desto nærmere én av ti holder du deg. Plan to avgjør saken i en håndfull innsatser: $100 blir $200, $400, $800, og så er $200 nok. Den lykkes omtrent 9,0% av gangene. Plan én tar tusenvis av innsatser før vandringen ender, og fordelen, liten på hver av dem, summerer seg til nesten sikker ruin.
Dette er Dubins–Savage-resultatet i sin enkleste form (Epstein, 2013): i et spill som favoriserer huset, sats så mye du trenger, så få ganger du kan.
Du har $500 og vil ha $1 000, og slutter så snart du har det. Du velger én type innsats og gjentar den til den vinner én gang eller pengene er brukt opp. Hvilken type gir best sannsynlighet?
Vis løsningen
Svar Én innsats på $500 på rødt: 48,6%. Hver plan som sprer pengene over mindre innsatser, gjør det dårligere.
Velg hver innsats slik at én gevinst er nok: $30 på et enkelttallinnsatsEnkelttallEtt enkelt tall, betaler 35:1.Les hele → vinner $1 050, $60 på en splitinnsatsSplitTo tall som ligger inntil hverandre, betaler 17:1.Les hele → vinner $1 020, og så videre. Tell så sannsynligheten for at minst én innsats vinner før pengene er brukt opp. Seksten enkelttall på $30 bommer alle med sannsynlighet (36/37)¹⁶ = 64,5%, så de når $1 000 35,5% av gangene.
Tabellen viser hver innsats. Rødt gjør det best fordi det kommer fram på én innsats, så fordelen betales én gang, på $500. Six lineinnsatsSix lineSeks tall i to rader som ligger inntil hverandre, betaler 5:1. Fransk: sixain.Les hele → kommer på andreplass fordi den bare trenger tre. Én enkelt innsats på et dusininnsatsDusin1–12, 13–24 eller 25–36, betaler 2:1.Les hele → er verst, med sannsynlighet 12/37; selv spilt i enheterpengerEnhetGrunninnsatsen et system eller en spiller regner i. Progresjoner beskrives i enheter, slik at de gjelder ved ethvert bord.Les hele → på $250 til du har $1 000 eller mer, kommer dusinet fram bare 46,4% av gangene.
Bollman (2024) setter opp den samme tabellen for et amerikansk hjul. Dusinraden hans har en feil: den burde vise 12/38 = 31,6%.
innsatsinnsatsbeløp × antall innsatsersannsynlighet for å nå $1 000Enkelttall$30 × 1635,5%Split$60 × 835,9%Street$90 × 534,5%Corner$125 × 436,7%Six line$166, $166, $16841,2%Dusin$500 × 132,4%Rødt$500 × 148,6%Du satser én enhet på rødt, spinn etter spinn, med en spillekassepengerSpillekasseDet samlede beløpet som er satt av til spill. Styring av spillekassen er å bestemme hvor mye av den du risikerer per innsats og per økt.Les hele → som aldri tar slutt. Etter det første spinnet er du én enhet i pluss eller én enhet i minus. Hva er sannsynligheten for at du noen gang kommer nøyaktig i balanse igjen?
Vis løsningen
Svar 36 av 37, 97,3%. På et amerikansk hjul er den 36 av 38, 94,7%.
Hvis det første spinnet vinner (18 ganger av 37), er du én enhet i pluss, og fordelen drar hver endeløs økt nedover, så før eller senere passerer du balansepunktet igjen: det er sikkert. Hvis det taper (19 ganger av 37), må du klatre én enhet, og sannsynligheten for noen gang å komme én enhet i pluss er 18/19 (se tabellen over).
Til sammen: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Generelt er sannsynligheten 1 minus forskjellen mellom sannsynlighetene for å vinne og å tape et spinn: 1 − 1/37 på et europeisk hjul, 1 − 2/38 på et amerikansk. I et spill uten nullhjulNullDen ene grønne lommen som ingen 1:1-innsats, dusininnsats eller kolonneinnsats dekker; kilden til husets fordel. Også: enkeltnull, 0.Les hele → er forskjellen ingen, og sannsynligheten er 1: stillingen kommer alltid tilbake i balanse. Epstein (2013) gir den generelle regelen.
Pascals oppgave fra 1656: to spillere kaster tre terninger, og hver starter med 12 brikker. Hver 11 flytter en brikke til den første spilleren, hver 14 flytter en til den andre; andre kast teller ikke. Hvor sannsynlig er det at den første spilleren vinner alle 24? Og hvis du i stedet satser 1 enhet på rødt hvert spinn mot en venn som er bank, 12 enheter hver, hvor sannsynlig er det at du vinner alle 24?
Vis løsningen
Svar Den første spilleren vinner omtrent 1 157 ganger av 1 158. Du, på rødt, vinner alle 24 enhetene bare omtrent 34% av gangene.
Tre terninger gir 11 på 27 måter og 14 på 15 måter, så hver brikke som flyttes, går til den første spilleren 27 ganger av 42, 9 ganger av 14. Når hver side starter med 12, er sannsynligheten for å ta alt 1/(1 + r¹²), der r er forholdet mellom den andre sidens sannsynlighet og din.
For den første spilleren er r = 5/9, og (5/9)¹² ≈ 0,00086, så sannsynligheten er omtrent 0,99914: odds på 9¹² mot 5¹², eller 282 429 536 481 mot 244 140 625, omtrent 1 157 til 1. Huygens trykte nøyaktig de tallene i 1657.
På rødt er r = 19/18 på grunn av nullen, og (19/18)¹² ≈ 1,913: sannsynligheten din er 1/2,913 ≈ 34,3%. En mynt ville gitt 50%. Fordelen på 2,70% på hver innsats summerer seg, over de mange innsatsene det tar, til en forskjell på 16 prosentpoeng.
Komisk avbrekk
Dristig spill er optimalt. Det er også raskt over.
Kilder
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Brev til Huygens, 28. september 1656, om problemet Pascal stilte Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”