Standardavvik
Kvadratroten av variansmatematikkVariansEt mål på hvor bredt resultatene sprer seg rundt forventningsverdien. Høy for enkelttall, lav for 1:1-innsatser.Les hele →: den typiske avstanden mellom et resultat og forventningen.
Per $1 satset er σ 5,84 for et enkelttall og 1,00 for rødt. Multipliser med innsatsen og med kvadratroten av antall spinn for en økt.
Tommelfingerregel
Omtrent to tredeler av øktene havner innenfor én σ av forventningen og 95% innenfor to. For 100 spinn på rødtinnsatsRødt1:1-innsats på de 18 røde tallene. Fransk: rouge.Les hele → med $10 (forventet −$27, σ = $100) faller de fleste øktene mellom −$127 og +$73, og nesten alle mellom −$227 og +$173. Et resultat utenfor dette spennet er ikke belegg for noe annet enn at én økt av tjue havner der.
Hvorfor √N
Forventet tapmatematikkForventet tapForventningsverdien ganger samlet innsatsbeløp; det gjennomsnittlige beløpet som tapes over en økt eller en periode.Les hele → vokser proporsjonalt med N; spredningen vokser proporsjonalt med √N. For små N dominerer spredningen, og økter er myntkast med en svak helning. For store N løper tapet fra spredningen. Skjæringspunktet, der forventet tap er lik ett standardavvikmatematikkStandardavvikKvadratroten av variansen; den typiske avstanden mellom et resultat og forventningsverdien.Les hele →, ligger ved N = (σ/fordel)² = (1/0,027)² ≈ 1 370 spinn for 1:1-innsats og (5,84/0,027)² ≈ 46 800 for enkelttallinnsatsEnkelttallEtt enkelt tall, betaler 35:1.Les hele →. Under disse tallene avgjør flaks; over dem avgjør fordelen.
Slik bruker du det
For å vurdere om en økt var uvanlig, regn ut (resultat − EV)/σ. En spiller med $10 på rødt som avslutter 100 spinn med +$150, er på (150 + 27)/100 = 1,77σ, et utfall på én av 25: flaks, ikke bemerkelsesverdig. En spiller på enkelttall med samme +$150 er på 0,3σ: en vanlig kveld. Det samme dollarresultatet betyr ulike ting på ulike innsatser.
Standardfeil for en andel
Den samme aritmetikken forteller hvor mange spinn det tar å se fordelen i dataene. Standardfeilen for en observert gevinstandel er √(p(1 − p)/N). For rødt med N = 1 000: √(0,4865 × 0,5135 / 1000) ≈ 1,6%. Gapet mellom en rettferdig mynt og rødt er 1,35%, så etter 1 000 spinn kan du fortsatt ikke skille dem med sikkerhet. Etter 10 000 er standardfeilen 0,5%, og da kan du. Dette er også grunnen til at påvisning av skjevhet i hjul krever så mange spinn.
Et forbehold om skjevfordeling
Resultater for enkelttall er langt fra normalfordelte i en kort økt: de fleste økter er et jevnt −$10 per spinn med enkelte hopp på +$350. ±1σ-regelen beskriver spredningen riktig, men formen dårlig før N er oppe i hundrevis. For 1:1-innsatserinnsats1:1-innsatsRødt/svart, oddetall/partall, høy/lav. 18 tall, betaler 1:1.Les hele → er normaltilnærmingen god fra omtrent 30 spinn.
Formel
Spørsmål
Det er bevis på at du spilte omtrent 40 økter, eller var i den heldige ene av førti. Gjenta den.
Det svinger stadig mindre: standardfeilen for gjennomsnittet er σ/√N. Ved N = 10 000 er den 1% av innsatsen.
Matte for moro skyld
Prøv selv først. Hver løsning er brettet sammen; åpne den når du er klar.
Over 100 spinn på et europeisk hjul er én enhetpengerEnhetGrunninnsatsen et system eller en spiller regner i. Progresjoner beskrives i enheter, slik at de gjelder ved ethvert bord.Les hele → på rødtinnsatsRødt1:1-innsats på de 18 røde tallene. Fransk: rouge.Les hele → i pluss med minst 51 gevinster, og én enhet på et enkelttallinnsatsEnkelttallEtt enkelt tall, betaler 35:1.Les hele → er i pluss hvis tallet treffer minst 3 ganger. Bruk klokkekurven til å anslå begge sannsynlighetene, og sammenlign dem så med de eksakte svarene.
Vis løsningen
Svar Rødt: klokkekurven gir 35,6%, og det eksakte svaret er 35,5%. Enkelttallet: klokkekurven gir 55,0%, og det eksakte svaret er 50,9%. Snarveien fungerer for rødt og bommer for enkelttallet.
Rødt: gevinstene er i gjennomsnitt 100 × 18/37 = 48,6, med en spredning på √(100 × 18/37 × 19/37) = 5,0. I pluss betyr 51 eller flere; halvveismerket, 50,5, ligger 0,37 spredninger over gjennomsnittet, og klokkekurven legger 35,6% over det. Summerer du de eksakte sannsynlighetene for 51, 52 … 100 gevinster, får du 35,5%.
Enkelttall: treffene er i gjennomsnitt 100/37 = 2,70, med en spredning på √(100 × 1/37 × 36/37) = 1,62. Tre eller flere treff betyr over 2,5, 0,12 spredninger under gjennomsnittet: 55,0% etter klokkekurven. Eksakt er det 1 minus sannsynlighetene for 0, 1 og 2 treff, 6,5% + 17,9% + 24,7%, som gir 50,9%.
Klokkekurven trenger mange utfall på begge sider av gjennomsnittet. Rødt har det etter 100 spinn; et tall som i gjennomsnitt treffer færre enn tre ganger, har det ikke. Kurven gir til og med 8,7% til «ingen treff», der den virkelige sannsynligheten er 6,5%. Taylor (2021) stiller binomialfordelingen og klokkekurven side om side på samme måte.
Komisk avbrekk
Én økt av tjue ligger utenfor to sigma. Noen er alltid i halen.
Kilder
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.