Gamblerens feilslutning
Troen på at et resultat «står for tur» fordi det ikke har kommet på en stund.
Etter ti røde er sannsynligheten for svart fortsatt 18/37. Hjulet fører ikke regnskap og skylder ingenting.
Feilslutningen
Når rødtinnsatsRødt1:1-innsats på de 18 røde tallene. Fransk: rouge.Les hele → har kommet ti ganger, føler mange spillere at svartinnsatsSvart1:1-innsats på de 18 svarte tallene. Fransk: noir.Les hele → «står for tur», og satser deretter. Andre føler at rødt er «varmt» og satser på det. Begge resonnerer ut fra en serie som allerede er over, om et spinn som ikke har skjedd. KulenutstyrKuleDen lille kulen som sendes langs banen mot rotoren. Moderne kuler er av ivorine eller teflon, 18–21 mm.Les hele → vet ikke hva de ti siste spinnene ble; lommeneutstyrLommeEt av de 37 nummererte rommene på rotoren. Også: spor, kopp.Les hele → er like store som for en time siden; sannsynlighetenmatematikkSannsynlighetSannsynligheten for et utfall, fra 0 til 1 eller fra 0% til 100%. Ett tall: 1/37 = 2,70%.Les hele → for svart er 18/37, slik den alltid har vært.
Hvorfor den føles sann
I det lange løp konvergerer andelene av rødt og svart mot 18/37 hver. Store talls lovmatematikkStore talls lovGjennomsnittet av uavhengige resultater konvergerer mot forventningsverdien når antallet forsøk vokser.Les hele → garanterer det. Men konvergensen skjer ved fortynning, ikke ved korrigering: etter 1 000 spinn til er de ti ekstra røde en avrundingsfeil i andelen, ikke fordi svart tok igjen, men fordi utvalget vokste. Det finnes ingen mekanisme som gjør svart mer sannsynlig, og store talls lov krever ingen.
Monte Carlo, 18. august 1913
Svart kom 26 ganger på rad ved et bord i Casino de Monte-Carlo. Fra omtrent den femtende svarte strømmet spillerne til rødt, doblet og doblet igjen, og hvert spinn var «sikrere» enn det forrige. Kasinoet vant millioner av franc. Serien hadde sannsynlighet 1 av 137 millioner fra den første svarte, og sannsynligheten for at den før eller siden ville inntreffe et sted i verdens kasinoer var i praksis én. Det er grunnen til at gamblerens feilslutning også kalles Monte Carlo-feilslutningen.
Ikke noe uvanlig. Skjer én gang av 44.
Spillerne begynner å merke det. Rødt «står for tur».
Bordet er fullt. Innsatsene på rødt dobles etter hvert tap.
Formuer er tapt. Hver ny svart får rødt til å føles sikrere.
Serien tar slutt. Kasinoet har vunnet millioner av franc av folk som satset mot en serie som ikke kunne «vite» at den var en serie.
Den varme hånden
Å satse på en farge fordi den er inne i en serie, er den samme feilen snudd på hodet: serien ventes å fortsette i stedet for å ta slutt. Psykologer kaller det den varme håndenmyteVarm håndTroen på at en serie gevinster, eller av ett resultat, gjør enda en mer sannsynlig. Ved hjulet er det gamblerens feilslutning snudd på hodet.Les hele →, etter en studie fra 1985 der Gilovich, Vallone og Tversky lette etter serier i basketballkast og ikke fant flere enn tilfeldighetene tilsier. I 2018 viste Miller og Sanjurjo at selve testen hadde vært skjev: i en kort sekvens av kast blir andelen treff rett etter et treff i gjennomsnitt lavere enn skytterens samlede treffandel, så en spiller helt uten varm hånd ser litt kald ut. Korrigert viser de samme dataene en beskjeden varm hånd. Et menneske kan komme i form; et hjul har ingen form å være i. Noen spillere tror begge deler samtidig: at en serie fortsetter til den er «for lang», og at den da tar slutt. På et rettferdig hjul har hver versjon samme forventningsverdimatematikkForventningsverdiGjennomsnittsresultatet per innsats i det lange løp. −1/37 av innsatsen for hver vanlig europeisk innsats.Les hele → som å velge farge ved å kaste mynt: −2,70% av innsatsen.
Ved et ekte bord
Croson og Sundali (2005) så gjennom 18 timer med overvåkingsvideo fra ett bord med dobbeltnullhjulNullDen ene grønne lommen som ingen 1:1-innsats, dusininnsats eller kolonneinnsats dekker; kilden til husets fordel. Også: enkeltnull, 0.Les hele → ved et stort kasino i Reno: 139 spillere som plasserte 24 131 innsatser. På 1:1-innsatseneinnsats1:1-innsatsRødt/svart, oddetall/partall, høy/lav. 18 tall, betaler 1:1.Les hele → var spillerne omtrent likt fordelt mellom å følge korte serier og å gå mot dem. Etter fem like utfall på rad satset de helst mot serien, og etter seks eller flere lå 85% av innsatsene på motsatt side. De samme spillerne viste varm hånd når det gjaldt dem selv: etter en gevinst på tallene dekket de i gjennomsnitt 13,6 tall i neste spinn, mot 9,2 etter et tap. Hjulet deres viste ingen tegn til skjevhet, så ingenting av dette endret hva noen av dem kunne forvente.
Utenfor kasinoet
Den samme dragningen viser seg der virkelige beslutninger tas. Clotfelter og Cook (1993) fulgte Marylands daglige tallotteri: pengene som ble satset på et tall, falt kraftig så snart det var trukket, og det tok måneder før de kom tilbake, selv om trekningen ikke har noen hukommelse. Chen, Moskowitz og Shue (2016) fant den samme dragningen hos fagfolk. Asyldommere i USA var opptil 3,3 prosentpoeng mer tilbøyelige til å avslå en sak hvis de hadde innvilget den forrige. Baseballdommere var 1,5 poeng mindre tilbøyelige til å dømme strike etter å ha dømt en, og mer enn dobbelt så mye ved jevne kast. I et felteksperiment med låneansvarlige som fikk et fast honorar, ble opptil 9% av beslutningene snudd på denne måten. Sakene kom i tilfeldig rekkefølge, så den forrige beslutningen sa ingenting om den neste, akkurat som det forrige spinnet ikke sier noe om det neste.
Gamblerens omvendte feilslutning
Filosofen Ian Hacking (1987) ga navn til en tredje variant. Noen kommer inn i et rom, ser to terninger lande på dobbel sekser og slutter at de må ha blitt kastet mange ganger allerede. Hvert kast har like stor sannsynlighet for å gi dobbel sekser, enten det er kveldens første eller det tusende, så synet sier ingenting om hvor lenge spillet har pågått. I rulett er det spilleren som kommer bort til en resultattavle som viser åtte røde, og bestemmer seg for at bordet må ha vært i gang i timevis for å få dem fram. Den vanlige feilslutningen leser fortiden inn i neste spinn; denne leser et sjeldent syn inn i en fortid ingen så.
En psykolog som trodde på den
Feilslutningen har hatt lærde forsvarere. Den tyske psykologen Karl Marbe gikk gjennom fire fødselsregistre med 49 152 fødsler hver, fant at den lengste serien av gutter eller av jenter på rad var 17, og konkluderte med at lange serier er sjeldnere enn tilfeldighetene tillater, slik at en serie gjør det motsatte utfallet mer sannsynlig. Tilfeldighetene alene sier noe annet: blant 196 608 fødsler dukker en serie på 17 eller mer opp omtrent fire ganger av fem. Marbe hadde funnet nøyaktig det en tilfeldig følge ser ut som. Epstein (2013) gjenforteller saken; siden Sannsynlighet for serier viser rulettversjonen.
Der feilslutningen ikke gjelder
Hvis hjulet var fysisk skjevt, ville tidligere spinn vært informative, fordi de ville vært belegg for noe om lommene og ikke om flaks. Det er temaet for laboratoriet, og det krever tusenvis av spinn fra ett identifisert hjul for å si noe som helst. For en serie på ti røde på et ukjent hjul er skjevhet en langt mindre sannsynlig forklaring enn tilfeldigheter.
Spørsmål
Nei. Den gjelder enhver uavhengig, gjentatt hendelse: terninger, mynter, lottotall.
Andelene kommer til å nærme seg hverandre. Resultatet ditt blir likevel omtrent −2,70% av det du satset.
Det finnes ingen gjennomsnittets lov. Det finnes store talls lov, og den virker ved fortynning.
Matte for moro skyld
Prøv selv først. Hver løsning er brettet sammen; åpne den når du er klar.
Etter 10 kast har en mynt vist krone 7 ganger og mynt 3 ganger. Etter 1 000 kast har den vist krone 517 ganger og mynt 483 ganger. Tok mynt igjen krone?
Vis løsningen
Svar Nei. Avstanden vokste fra 4 til 34. Bare forholdet kom nærmere likt.
Forholdet mellom krone og mynt falt fra 7/3, omtrent 2,33, til 517/483, omtrent 1,07. Det er de store talls lovmatematikkStore talls lovGjennomsnittet av uavhengige resultater konvergerer mot forventningsverdien når antallet forsøk vokser.Les hele → i arbeid.
Avstanden mellom dem vokste, fra 4 til 34. Med en rettferdig mynt er en avstand på rundt 30 etter 1 000 kast helt vanlig: den typiske avstanden vokser omtrent med kvadratroten av antallet kast, mens forholdet nærmer seg 1.
Ingenting dro mynt tilbake mot krone. Det tidlige overskuddet av krone ble tynnet ut av de neste 990 kastene, ikke rettet opp.
Kast en mynt fire ganger og se bare på kastene som kommer rett etter en krone. Hvor stor andel av dem er krone? Regn det ut for hver av de 16 mulige sekvensene, og ta gjennomsnittet av andelene. Blir det 50%?
Vis løsningen
Svar Nei. Det blir 17/42, omtrent 40,5%. Sett på denne måten ser en rettferdig mynt ut til å bli kald etter en krone.
List opp de 16 sekvensene (K for krone, M for mynt). To av dem, MMMM og MMMK, har ingen krone blant de tre første kastene, så ingenting følger etter en krone; da står 14 igjen.
I hver av dem tar du kastene som følger etter en krone, og finner andelen som er krone. KKKK gir 3 av 3. KKKM gir 2 av 3. KMKM gir 0 av 2. Går du gjennom alle 14: seks sekvenser gir 0, fire gir 1/2, én gir 2/3 og tre gir 1 (KKKK, MKKK og MMKK).
Legg sammen andelene: 4 × 1/2 + 2/3 + 3 = 17/3. Del på 14: 17/42 ≈ 40,5%.
Ingen kast favoriserer mynt; hvert er 50–50. Skjevheten kommer av at gjennomsnittet tas sekvens for sekvens: en sekvens full av krone har mange kast å se på, men teller én gang, like mye som en sekvens med bare én. Miller og Sanjurjo (2018) viste at studien av varm hånd fra 1985 hadde målt basketballspillerne sine på denne måten, så spillere som ikke så ut til å ha flere serier enn tilfeldighetene tilsier, i virkeligheten hadde hatt noe flere.
Komisk avbrekk
Fortynning, ikke korrigering. Hjulet skylder ingenting.
Kilder
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Schwartz, D. G. Roll the Bones: The History of Gambling.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Croson, R. & Sundali, J. “The gambler’s fallacy and the hot hand: empirical data from casinos.”
- Chen, D. L., Moskowitz, T. J. & Shue, K. “Decision making under the gambler’s fallacy: evidence from asylum judges, loan officers, and baseball umpires.”
- Clotfelter, C. T. & Cook, P. J. “The ‘gambler’s fallacy’ in lottery play.”
- Gilovich, T., Vallone, R. & Tversky, A. “The hot hand in basketball: on the misperception of random sequences.”
- Miller, J. B. & Sanjurjo, A. “Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers.”
- Hacking, I. “The inverse gambler’s fallacy: the argument from design. The anthropic principle applied to Wheeler universes.”