Sannsynlighet for serier
Lange serier av én farge er vanlige. De betyr også ingenting for neste spinn.
Fem røde på rad: 2,7%. Ti: 0,074%. I en økt på 200 spinn dukker det oftere enn ikke opp en serie på seks av samme farge.
Hvor ofte en tapsserie kommer
En 1:1-innsats på et hjul med én null taper 19 spinn av 37. Hver rad viser sannsynligheten for at et gitt antall spinn på rad alle taper, og hva en Martingale-spiller, som dobler etter hvert tap, har tapt innen da.
| tap på rad | sannsynlighet | omtrent 1 av | tapt hittil | neste innsats |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1 023 | $1 024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2 047 | $2 048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4 095 | $4 096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8 191 | $8 192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16 383 | $16 384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32 767 | $32 768 |
Sannsynligheten er 19/37 ganget med seg selv én gang per tap, regnet fra ett gitt spinn. En lang økt har mange spinn der en slik serie kan begynne, så i løpet av en kveld er den langt mer sannsynlig enn én rad antyder.
Enkeltserie
SannsynlighetenmatematikkSannsynlighetSannsynligheten for et utfall, fra 0 til 1 eller fra 0% til 100%. Ett tall: 1/37 = 2,70%.Les hele → for at de neste k spinnene alle er rødeinnsatsRødt1:1-innsats på de 18 røde tallene. Fransk: rouge.Les hele →, er (18/37)ᵏ. To: 23,7%. Fem: 2,7%. Ti: 0,074%, omtrent 1 av 1 350. Tjue: 1 av 1,8 millioner. Tjueseks, Monte Carlo-rekorden: 1 av 137 millioner. Dette er oddsen for en bestemt serie som starter på et bestemt spinn, som er spørsmålet nesten ingen faktisk stiller.
I en økt
Spørsmålet folk mener, er «vil en serie på k dukke opp et sted i økten min?», og svaret er langt større enn (18/37)ᵏ fordi en økt på 200 spinn gir nesten 200 steder en serie kan starte. En serie på seks eller flere av samme farge, rødt eller svartinnsatsSvart1:1-innsats på de 18 svarte tallene. Fransk: noir.Les hele →, dukker opp i en økt på 200 spinn omtrent 94% av gangene; åtte eller flere omtrent 47%; ti eller flere omtrent 14%. Bestemmer du fargen på forhånd, faller sannsynlighetene til omtrent 75%, 27% og 7%. En spiller som sitter en hel kveld, vil se lange serier hver kveld.
Hvorfor Martingale bryr seg
Hver negativ progresjonstrategiProgresjonEnhver regel som endrer innsatsen ut fra tidligere resultater. Negative progresjoner øker den etter tap, positive etter gevinster.Les hele → har en seriellengde som bryter den: seks tap fra en grunninnsats på $10 ved en grense på $500, ti for FibonaccistrategiFibonacciProgresjon som følger følgen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: ett trinn fram etter et tap, to trinn tilbake etter en gevinst.Les hele →, fem for tredobling på dusininnsatsDusin1–12, 13–24 eller 25–36, betaler 2:1.Les hele →. Sannsynligheten for en tapsserie på seks på 1:1-innsats er (19/37)⁶ ≈ 1,8% per forsøk, og en økt på 200 spinn inneholder kanskje 100 forsøk, så bruddet kommer i omtrent fire av fem økter av den lengden. Seriesannsynligheter er grunnen til at stupet ikke er sjeldent.
Varme og kalde tall
Den samme aritmetikken gjelder enkelttallinnsatsEnkelttallEtt enkelt tall, betaler 35:1.Les hele →. På 300 spinn er forventet antall per tall 8,1; standardavviketmatematikkStandardavvikKvadratroten av variansen; den typiske avstanden mellom et resultat og forventningsverdien.Les hele → er omtrent 2,8. Et eller annet tall vil vise 15 treff og et annet 2 av ren tilfeldighet, hver gang. En resultattavle som fremhever «varme» tall, fremhever toppen av en normalfordeling. Laboratoriet forklarer hvor mange spinn det tar før et varmt tallmyteVarmt tallEt tall som i det siste har kommet oftere enn forventet. På et rettferdig hjul forutsier det ingenting.Les hele → betyr noe (tusenvis, fra ett identifisert hjul).
Uavhengighet er hele poenget
En serie på ti røde gjør ikke svart mer sannsynlig, og den gjør heller ikke rødt mer sannsynlig. Begge er 18/37. Serier er en egenskap ved tilfeldige følger og ville vært mistenkelige ved sitt fravær: en følge på 200 spinn uten serie lenger enn fire ville vært et langt sterkere tegn på manipulering enn en med en serie på tolv.
Formel
Spørsmål
26 svarte i Monte Carlo 18. august 1913 er den berømte. 32 røde på rad ble rapportert i et amerikansk kasino i 1943. Begge er forenlige med tilfeldigheter, gitt hvor mange spinn kasinoer kjører.
Det er 18/37 uansett. Sats det planen din sier, eller ingenting.
Nei. Skjevhet viser seg ved at noen lommerutstyrLommeEt av de 37 nummererte rommene på rotoren. Også: spor, kopp.Les hele → treffer oftere over tusenvis av spinn, ikke ved serier av en farge.
Matte for moro skyld
Prøv selv først. Hver løsning er brettet sammen; åpne den når du er klar.
Hvor mange spinn på et europeisk hjul tar det i gjennomsnitt før alle de 37 tallene har kommet minst én gang?
Vis løsningen
Svar Omtrent 155 spinn i gjennomsnitt; medianen er 147.
Tell ventetiden ett nytt tall om gangen. Det første spinnet viser alltid et nytt tall. Når du har sett 1 tall, er 36 lommerutstyrLommeEt av de 37 nummererte rommene på rotoren. Også: spor, kopp.Les hele → av 37 nye, så det neste nye tallet tar i gjennomsnitt 37/36 spinn. Når du har sett k tall, tar det 37/(37 − k).
Legg sammen ventetidene: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4,20 = 155,5 spinn.
Det meste av dette er slutten. Det siste tallet alene tar 37 spinn i gjennomsnitt, og de fem siste omtrent 85. På et amerikansk hjul gir den samme summen omtrent 161. Dette er samlerproblemet (coupon collector’s problem); Wizard of Odds oppgir det samme gjennomsnittet.
I 37 spinn på et europeisk hjul, ett spinn for hver lomme, hvor mange forskjellige tall kan du vente å se?
Vis løsningen
Svar Omtrent 23,6. Omtrent en tredjedel av tallene, rundt 13, kommer ikke i det hele tatt.
Ta ett tall, for eksempel 17. I hvert spinn uteblir det med sannsynlighet 36/37, så det går glipp av alle 37 spinnene med sannsynlighet (36/37)³⁷ ≈ 0,363.
Hvert tall har samme sannsynlighet, så i gjennomsnitt mangler 37 × 0,363 ≈ 13,4 tall, og 37 − 13,4 ≈ 23,6 kommer, mange av dem to ganger eller mer.
Rulettspillere kaller dette tredjedelsloven. Det er ingen lov, bare regnestykket for gjentakelser: i en serie like lang som hjulet står omtrent en tredjedel av tallene over, på et rettferdig hjul som på alle andre. Med 38 lommer er andelen også (37/38)³⁸ ≈ 0,363; for et stort hjul nærmer den seg 1/e ≈ 0,368.
En venn viser deg to lister med 50 farger, rødtinnsatsRødt1:1-innsats på de 18 røde tallene. Fransk: rouge.Les hele → eller svartinnsatsSvart1:1-innsats på de 18 svarte tallene. Fransk: noir.Les hele →, begge angivelig fra et hjul der nullenehjulNullDen ene grønne lommen som ingen 1:1-innsats, dusininnsats eller kolonneinnsats dekker; kilden til husets fordel. Også: enkeltnull, 0.Les hele → er utelatt. Den ene skifter farge 25 ganger, og den lengste serien er på seks. Den andre skifter 35 ganger og har aldri en serie lenger enn tre. Hvilken er oppdiktet?
Vis løsningen
Svar Den andre. En ekte liste skifter omtrent 24 eller 25 ganger. En med 35 skifter dukker opp omtrent én gang av 500 lister, og en uten serie lenger enn tre omtrent to ganger av 100.
Hver ny farge gjentar enten den forrige eller skifter, halvt om halvt, så 49 muligheter til å skifte gir 24,5 skifter i gjennomsnitt, pluss minus omtrent 3,5. Trettifem ligger tre slike steg over gjennomsnittet; et rettferdig hjul gir så mange skifter omtrent én gang av 500 lister.
Seriene forteller det samme. En ekte liste på 50 har en serie på fire eller flere omtrent 98% av gangene, og den lengste serien er oftest på fem eller seks.
Folk som blir bedt om å finne på en tilfeldig liste, skifter for ofte, fordi en serie på fire eller fem ser ut som et mønster for dem. Taylor (2021) viser det samme kjennetegnet i lister over myntkast som studenter har funnet på: ekte tilfeldighet har flere serier enn folk venter.
En bok med kasinohistorier forteller om en spiller som så tallet sitt komme fem ganger på rad, og kaller det en rekord. Hvor sjeldent er det på et europeisk hjul? Og hvor ofte bør det skje et eller annet sted i ett kasino med 20 bord, som hvert spinner 40 ganger i timen, dag og natt?
Vis løsningen
Svar Et bestemt tall fem ganger på rad: 1 av 69 millioner. At et hvilket som helst tall kommer fire ganger til etter at det først har kommet: 1 av 1,87 millioner. Det kasinoet spinner omtrent 7 millioner ganger i året, så det bør se en serie på fem tre eller fire ganger i året.
Et bestemt tall kommer med sannsynlighet 1/37 i hvert spinn, så fem på rad har sannsynlighet (1/37)⁵ = 1 av 69 343 957. Men ingen bestemmer tallet på forhånd. Uansett hva som kommer først, må de fire neste spinnene gjenta det: (1/37)⁴ = 1 av 1 874 161.
20 bord × 40 spinn × 24 timer × 365 dager = 7 008 000 spinn i året. Hvert spinn kan starte en serie, så kasinoet kan vente 7 008 000/1 874 161 ≈ 3,7 serier på fem i året.
Det finnes ingen offisiell rekord av dette slaget, og det trengs ingen: en sjelden hendelse ved ett bord er rutine i et helt kasino, og historiene fortelles om bordet der det skjedde. Historien, hos Goldman (2007), foregår på et hjul med dobbeltnull, der tallene er 1 av 79 millioner og 1 av 2,09 millioner.
Komisk avbrekk
Lange serier er slik tilfeldighet ser ut.
Kilder
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.