Kelly-kriteriet og rulett

Kriteriet

John Kelly (1956) spurte hvordan en spiller med en kjent fordel bør dimensjonere innsatsene for å maksimere veksten i spillekassenpengerSpillekasseDet samlede beløpet som er satt av til spill. Styring av spillekassen er å bestemme hvor mye av den du risikerer per innsats og per økt.Les hele → i det lange løp. Svaret, for en innsats som betaler b til 1 med sannsynlighetmatematikkSannsynlighetSannsynligheten for et utfall, fra 0 til 1 eller fra 0% til 100%. Ett tall: 1/37 = 2,70%.Les hele → p for gevinst og q = 1 − p for tap, er å satse andelen f* = (bp − q) / b av spillekassen. Positiv f* betyr at du satser den andelen; null eller negativ betyr at du ikke satser. Kelly arbeidet ved Bell Labs, og artikkelen hans, «A new interpretation of information rate», plasserte problemet i Claude Shannons informasjonsteori: en spiller som får tips over en linje med støy, til reelle odds, kan i beste fall få spillekassen til å vokse i det tempoet linjen overfører informasjon. I 1961 beviste Leo Breiman at Kelly-innsatser i det lange løp ender foran enhver vesentlig annerledes strategi og når et fastsatt mål på omtrent kortest mulig tid.

Brukt på rulett

For rødtinnsatsRødt1:1-innsats på de 18 røde tallene. Fransk: rouge.Les hele →: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. For et enkelttallinnsatsEnkelttallEtt enkelt tall, betaler 35:1.Les hele →: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. Hver vanlig innsats gir en negativ Kelly-andel, fordi hver innsats har negativ fordel, og den vekstoptimale innsatsen er null. Kelly er en formell måte å si det siden om husets fordel sier: det finnes ingen størrelse der en innsats med negativ forventning får en spillekasse til å vokse.

Der Kelly gjaldt

Skjevhetsspillere hadde en fordel og et dimensjoneringsproblem. Jagger, García-Pelayos og Eudaemons måtte alle bestemme hvor mye de skulle satse på den målte fordelen sin, og for lave innsatser sløser bort fordelen mens for høye innsatser risikerer ruin før fordelen viser seg. For en lommeutstyrLommeEt av de 37 nummererte rommene på rotoren. Også: spor, kopp.Les hele → som treffer 1 av 30, sier Kelly 0,57% av spillekassen per spinn på det tallet: med $10 000 er det omtrent $57 per spinn, for en typisk vekst på omtrent 0,054% per spinn, eller ×1,7 over 1 000 spinn. Den gjennomsnittlige gevinsten er det dobbelte, 0,11% per spinn, men Kelly sikter mot den typiske spillekassen, ikke den gjennomsnittlige, som noen få heldige serier blåser opp. Halv Kelly er det vanlige praktiske valget fordi anslaget på fordelen er usikkert.

Berømte rulettspillereEudaemons

Typisk og gjennomsnittlig

Avstanden mellom den typiske spillekassen og den gjennomsnittlige er stor. Ta en lomme som treffer 1 gang av 25, en fordel på 44%, tallet Thorp oppgir for apparatet sitt. Kelly satser 1,26% av spillekassen på den. Etter 1 000 spinn har den typiske spillekassen vokst omtrent 11,5 ganger, mens gjennomsnittet, trukket opp av noen få svært heldige serier, har vokst omtrent 249 ganger. Å satse mer enn Kelly hever gjennomsnittet og senker det typiske resultatet: med dobbel Kelly-innsats blir den typiske spillekassen bare doblet, og ved to og en halv ganger Kelly-innsatsen krymper den, selv om hver innsats fortsatt har en fordel på 44%. Å satse mindre koster lite: halv innsats beholder omtrent tre firedeler av veksten.

Når fordelen er en gjetning

Kelly forutsetter at fordelen er kjent. Ved bordet er den anslått, og anslaget er som regel for høyt. Epsteins eksempel, bygd på Thorps 44%, er et tall som traff 49 ganger på 1 225 spinn på et hjul med dobbeltnullhjulNullDen ene grønne lommen som ingen 1:1-innsats, dusininnsats eller kolonneinnsats dekker; kilden til husets fordel. Også: enkeltnull, 0.Les hele →: 1 gang av 25, en fordel på 44%, en Kelly-innsats på 1,26%. Men et rettferdig hjul med dobbeltnull har 38 tall, og det tallet som treffer oftest, når 49 eller flere på 1 225 spinn omtrent én gang av ni. Det tallet som treffer oftest i en spinnhistorikk, er også det flaksen har hjulpet mest, så selv en virkelig skjev lomme ser bedre ut i historikken enn den er: vinnerens forbannelse. Hvis lommen i virkeligheten ikke er skjev, er Kelly-innsatsen rett og slett en innsats som i gjennomsnitt taper 5,26%. De vanlige svarene er å satse en brøkdel av Kelly og å fortsette å telle til fordelen holder i en ny spinnhistorikk (se Slik påviser du skjevhet i hjulet).

Folk med en fordel

Å kjenne fordelen er ikke det samme som å bruke den godt. Haghani og Dewey (2016) ga 61 personer $25 hver og lot dem satse i en halvtime på en mynt de fikk vite kom opp kron 60% av gangene, med gevinsten begrenset til $250 (spillerne fikk vite om taket først når de nådde det). Kelly sier at du skal satse 20% av spillekassen på kron hver gang, og forfatterne anslår at jevne innsatser på 10–20% ville ha nådd taket omtrent 95% av gangene. Bare 21% av spillerne kom dit. 28% gikk blakk, 18 av de 61 satset alt på ett enkelt kast, omtrent en tredjedel endte under de $25 de startet med, og den gjennomsnittlige utbetalingenpengerUtbetalingDet en vinnende innsats gir tilbake, oppgitt som «X til 1» i tillegg til den returnerte innsatsen.Les hele → var $91. Bare fem av de 61 hadde hørt om Kelly-kriteriet. Med en fordel avgjør størrelsen på innsatsene om du beholder den; uten en fordel, som ved et rettferdig hjul, hjelper ingen størrelse.

Hva du kan bruke i stedet

Uten en fordel er dimensjonering et spørsmål om budsjett, ikke om vekst: innsats = det du er villig til å bruke per spinn, utledet fra timebudsjettet og bordets tempo (siden Styring av spillekassen). Kellys bidrag til den vanlige spilleren er klarheten i svaret: null. Alt du satser over null er prisen for å spille, valgt av deg, ikke optimalisert av noen formel.

En merknad om brøk-Kelly og «pengestyring»

Systemer som selges som «Kelly for rulett» og anbefaler en fast prosentandel av spillekassen per innsats, er fast innsatsstrategiFast innsatsÅ satse samme beløp hvert spinn. Grunnlinjen som hver progresjon sammenlignes med.Les hele → med en krympende innsats. De taper 2,70% av omsetningenpengerOmsetningDet samlede beløpet som er satset over en økt eller en periode, medregnet gevinster som satses på nytt. Også: handle, action.Les hele →, og fordi innsatsen krymper når du taper, gjør de ruin langsom, ikke usannsynlig. Det er en rimelig måte å få et budsjett til å vare på; det er ikke Kelly, som ville sagt at du skal stoppe.

Fast innsats

Formel

Spørsmål