Oppgave: Bordgrensen
En Martingale på $10 ved et bord med grense $500. Hvor ofte bryter den sammen, hvor mye taper den når det skjer, og hjelper det å heve grensen?
Seks tap på rad bryter den: 1,8% per syklus, omtrent 60% av øktene på 100 spinn. Bruddet koster $630. Å heve grensen til $5 000 gjør bruddet sjeldnere (0,25% per syklus) og større ($5 110). Det forventede tapet per satset dollar er 2,70% ved enhver grense.
Oppgaven
En spiller satser $10 på rødtinnsatsRødt1:1-innsats på de 18 røde tallene. Fransk: rouge.Les hele → og dobler etter hvert tap, og starter på nytt etter en gevinst. Bordets maksimum er $500. (a) Hvor mange tap på rad bryter progresjonenstrategiProgresjonEnhver regel som endrer innsatsen ut fra tidligere resultater. Negative progresjoner øker den etter tap, positive etter gevinster.Les hele →? (b) Hva er sannsynlighetenmatematikkSannsynlighetSannsynligheten for et utfall, fra 0 til 1 eller fra 0% til 100%. Ett tall: 1/37 = 2,70%.Les hele → per syklus? (c) Hva tapes ved bruddet? (d) Hvordan endrer en grense på $5 000 svarene? (e) Gjør noen grense systemet lønnsomt?
Løsninger (a)–(c)
Innsatser: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Den sjuende ville blitt 640 > 500, så seks tap bryter den. (b) p(tap) = 19/37 på rødt; (19/37)⁶ = 0,0183, omtrent 1,8% per syklus. En syklus varer omtrent to spinn i gjennomsnitt, så en økt på 100 spinn har omtrent 50 sykluser og p(minst ett brudd) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, som er 63 enheterpengerEnhetGrunninnsatsen et system eller en spiller regner i. Progresjoner beskrives i enheter, slik at de gjelder ved ethvert bord.Les hele → av grunninnsatsen, mot de $10 syklusen forsøkte å vinne.
Løsning (d)
Ved $5 000: innsatser opp til 2 560 er tillatt; den tiende innsatsen, 5 120, nektes. Ni tap bryter den: (19/37)⁹ ≈ 0,25% per syklus, omtrent 11% av øktene på 100 spinn. Tap ved bruddet: 10 + 20 + … + 2 560 = $5 110. Spilleren har kjøpt en sjeldnere katastrofe til prisen av en større. Over mange økter er de forventede kostnadene ved brudd p × tap ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 per syklus ved grensen på $500 og 0,0025 × 5 110 = $12,8 ved $5 000. Innenfor avrunding er det samme tall, og det er syklusens forventede tapmatematikkForventet tapForventningsverdien ganger samlet innsatsbeløp; det gjennomsnittlige beløpet som tapes over en økt eller en periode.Les hele → minus de $10 de vinnende syklusene tjener.
Løsning (e)
Nei. Forventet tap per syklus = (forventet total innsats i syklusen) / 37, ved enhver grense, fordi hver innsats er −1/37 av seg selv. Grensen avgjør bare hvordan tapet fordeles mellom mange små gevinster og få store tap. Uten grense og med uendelig spillekassepengerSpillekasseDet samlede beløpet som er satt av til spill. Styring av spillekassen er å bestemme hvor mye av den du risikerer per innsats og per økt.Les hele → ville progresjonen «virke», i den forstand at den aldri ville bryte sammen, og den ville også satset et ubegrenset beløp med forventet tap på 2,70% av dette ubegrensede beløpet. BordgrensenbordBordgrenseTillatt minsteinnsats og maksimumsinnsats. Maksimumsinnsatsen er det som stopper progresjoner med dobling.Les hele → er ikke det som hindrer MartingalestrategiMartingaleProgresjon som dobler innsatsen etter hvert tap. Se seksjonen Strategi for hva den gjør og ikke gjør.Les hele →-systemet i å virke. Aritmetikken gjør det.
To ekte bord
Thorps eksempel er et bord med $1 som minimum og $1 000 som maksimum, der en spiller håper å vinne $30 til middagen, én dollar om gangen. Innsatsene 1, 2, 4 … 512 gir ti innsatser, så ti tap på rad bryter progresjonen: én gang per 785 sykluser på et europeisk hjul (én gang per 613 på et amerikansk), til en kostnad av $1 023. Alle tretti syklusene lykkes 96,2% av gangene. De resterende 3,8% taper omtrent $1 000, og kveldens gjennomsnittlige resultat er −$9,17, som er nøyaktig 1/37 av de $339 de tretti syklusene i gjennomsnitt satser. Et bord med $5 som minimum og $2 000 som maksimum er ikke annerledes: innsatser opp til $1 280 gir ni innsatser, og bruddet kommer én gang per 403 sykluser på et europeisk hjul (én gang per 323 på et amerikansk) og koster $2 555.
En rik spiller
Gi progresjonen en dyp spillekasse i stedet for en lav grense: 1 000 enheter, en grunninnsats på én enhet og 1 000 spinn på rødt, og start på nytt med én enhet hver gang neste dobling er større enn det som er igjen. Vi simulerte en million slike kvelder. På et europeisk hjul ender 52% i pluss, 21% taper alt, og det gjennomsnittlige resultatet er −124 enheter. Selv i et spill uten nullhjulNullDen ene grønne lommen som ingen 1:1-innsats, dusininnsats eller kolonneinnsats dekker; kilden til husets fordel. Også: enkeltnull, 0.Les hele →, der hver innsats er rettferdig, ville bare omtrent 60% endt i pluss. Den vanlige kvelden gir en liten gevinst; gjennomsnittet betales av kveldene som ender på null.
Lærdommen
Kasinoer setter grenser for å begrense sin egen variansmatematikkVariansEt mål på hvor bredt resultatene sprer seg rundt forventningsverdien. Høy for enkelttall, lav for 1:1-innsatser.Les hele →, ikke for å slå systemer. At Martingale blir slått, er en bieffekt de gjerne tar imot, og aritmetikken ville slått det uansett. En spiller som mener at grensen er problemet, har funnet stupet og forvekslet det med skråningen.
Formel
Spørsmål
Den lar deg overleve opp til en høyere grense, der bruddet er sjeldnere og større. Det forventede tapet per dollar er uendret.
Innsatser 10, 30, 70, 150, 310: grensen på $500 nås etter fem tap, og bruddet koster $570. Samme 2,70%.
Slik at én spiller ikke kan satse mer enn kasinoets reserver komfortabelt kan betale ut. Styring av varians.
Matte for moro skyld
Prøv selv først. Hver løsning er brettet sammen; åpne den når du er klar.
En MartingalestrategiMartingaleProgresjon som dobler innsatsen etter hvert tap. Se seksjonen Strategi for hva den gjør og ikke gjør.Les hele → starter på $100 på rødtinnsatsRødt1:1-innsats på de 18 røde tallene. Fransk: rouge.Les hele → og tillater seg høyst n innsatser per syklus: etter n tap på rad gir den opp og begynner på nytt. Skriv det gjennomsnittlige resultatet av én syklus som en formel i n, og regn det ut for 5, 6 og 7 innsatser på et europeisk hjul.
Vis løsningen
Svar Gjennomsnittet er 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 for 5 innsatser, −$17,35 for 6 og −$20,52 for 7. Å tillate flere innsatser gjør den gjennomsnittlige syklusen dårligere, ikke bedre.
En syklus vinner $100 med mindre alle de n innsatsene taper, noe som skjer med sannsynlighet qⁿ, der q = 19/37. Når alle taper, summerer innsatsene 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ seg til 100 × (2ⁿ − 1). Gjennomsnittet er altså 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Her er 2q = 38/37, litt mer enn 1, så (2q)ⁿ vokser med n, og gjennomsnittet synker: n = 5 gir 1,1426 og −$14,26; n = 6 gir 1,1735 og −$17,35; n = 7 gir 1,2052 og −$20,52. En lengre trapp taper sjeldnere, i 3,6%, 1,8% og 0,9% av syklusene, men hvert tap er dobbelt så stort, og det går mer penger over bordet i hver syklus, med 2,70% av hver innsats.
På et amerikansk hjul er 2q = 40/38, og tallene er −$29,24, −$36,04 og −$43,20 (Taylor, 2021). I et spill uten nullhjulNullDen ene grønne lommen som ingen 1:1-innsats, dusininnsats eller kolonneinnsats dekker; kilden til husets fordel. Også: enkeltnull, 0.Les hele → er 2q = 1, og hver syklus gir i gjennomsnitt nøyaktig null, uansett hvor lang trappen er.
«Grand Martingale» dobler innsatsen etter et tap og legger til én enhetpengerEnhetGrunninnsatsen et system eller en spiller regner i. Progresjoner beskrives i enheter, slik at de gjelder ved ethvert bord.Les hele →, så innsatsene blir 1, 3, 7, 15, 31 … Hvor mye er du i pluss når den første gevinsten kommer på 1., 2., 3. eller k-te innsats? Med en enhet på $10 og en maksimumsinnsats på $500, hvor ofte bryter en syklus sammen, og hva koster en syklus i gjennomsnitt?
Vis løsningen
Svar En gevinst på den k-te innsatsen gir deg k enheter i pluss: +1, +2, +3 og så videre. Med $10 og $500 bryter syklusen sammen etter fem tap, i 3,57% av syklusene, med −$570. I gjennomsnitt taper en syklus $2,32 av $85,73 satset: 2,70%.
Den k-te innsatsen er 2ᵏ − 1 enheter: 1, 3, 7, 15, 31. De første k − 1 innsatsene summerer seg til 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. En gevinst på den k-te innsatsen betaler 2ᵏ − 1, så syklusen ender (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k enheter i pluss: én ekstra enhet for hvert tap før gevinsten.
Med $10 per enhet er innsatsene $10, $30, $70, $150 og $310; den neste, $630, er over maksimum på $500. Fem tap på rad, (19/37)⁵ = 3,57%, koster 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Gjennomsnitt: gevinstene gir $10 × k med sannsynlighet (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 for k = 1 til 5, og bruddet tar $570 med sannsynlighet 3,57%; til sammen −$2,32. Pengene som satses, er i gjennomsnitt $85,73 per syklus, og 2,32/85,73 = 2,70%. Den vanlige Martingale ved det samme bordet bryter sammen etter seks tap, i 1,83% av syklusene, med −$630, og taper $1,74 av $64,20 satset: 2,70% igjen.
En spiller planlegger en Martingale på rødt med $1 som første innsats ved et bord med bordgrense $1 000, så ti innsatser er mulige: $1, $2, $4 og så videre opp til $512. Hvor ofte taper en syklus alle ti, hvor lang tid tar det i gjennomsnitt, og hvor ofte ender en kveld med 200 innsatser slik?
Vis løsningen
Svar En syklus taper alle ti omtrent én gang av 784, og det koster $1 023. Det er i gjennomsnitt omtrent 1 600 innsatser, og en kveld med 200 innsatser går i veggen omtrent 11% av gangene. En syklus taper likevel i gjennomsnitt $0,31 av $11,31 satset: 2,70%.
En innsats på rødt taper med sannsynlighet 19/37, nullen medregnet. Ti på rad: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, omtrent 1 av 784. Innsatsene 1 + 2 + 4 + … + 512 blir til sammen $1 023.
En syklus tar i gjennomsnitt 2,05 innsatser, så 784 sykluser tar omtrent 1 600 innsatser. Telt spinn for spinn dukker en serie på ti tap opp et sted i 200 innsatser i 11,3% av tilfellene.
Mellom katastrofene vinner spilleren $1 per syklus: omtrent $783 før den dårlige, deretter −$1 023, omtrent −$240 over hele strekket. Per syklus: 1 × (1 − 0,00128) − 1 023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Penger satset per syklus: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. Og −0,31/11,31 = −2,70%.
Sammenlign med $10 som første innsats ved en bordgrense på $500, seks innsatser: veggen kommer én gang av 55 sykluser, og en kveld med 200 innsatser møter den 84% av gangene. En høyere bordgrense gjør krakket sjeldnere og større, ikke billigere.
Komisk avbrekk
Sjeldnere og større, ved enhver grense. Produktet er konstant.
Kilder
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.